Question

【題目】已知：在正方形ABCD中，點E在 BC邊上，連接 DE，以DE為直角邊作等腰直角三角形EDF（∠DEF=90°），過點C作 DE的垂線，垂足為G，交AB于點H，連接 FH．

（1）如圖 1，求證：四邊形FECH為平行四邊形

（2）如圖 2，連接 DH和 AF，點 E 為 BC 中點，在不添加任何輔助線與字母的情況下，請直接寫出與平行四邊形FECH面積相等的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ECD≌△HBC，得出ED=HC，再根據(jù)△DEF為等腰直角三角形，得出EF=CH，根據(jù)角的等量代換得出，從而有EF∥CH，即可證明結論；

（2）利用正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)結合已知條件可用含正方形邊長BC的式子表示出平行四邊形的面積，再找出與其面積相等的三角形即可．

解：（1）證明：如下圖，

∵正方形 ABCD

∴CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°

∵CG⊥DE

∴∠CGD=∠EGC=90°

∵∠GDC+∠GCD=90°，∠BCH+∠GCD=90°

∴∠GDC=∠BCH

∴△ECD≌△HBC

∴ED=HC

∵△DEF為等腰直角三角形

∴DE=EF，∠DEF=∠EGC=90°

∴EF=CH，EF∥CH

∴四邊形 FECH 為平行四邊形

（2）如下圖 ，點 E 為 BC 中點，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∵四邊形FECH是平行四邊形，

∴，

∴

∴，

由（1）可知，△ECD≌△HBC，

∴

∴，

∵

∴與平行四邊形FECH面積相等的三角形有：△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．