Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度數；
（2）若BE=，求弧AE的長；
（3）求證：BD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠EBC的度數等于∠ABC-∠ABE，因而求∠EBC的度數就可以轉化為求∠ABC和∠ABE，根據等腰三角形的性質等邊對等角，就可以求出；
（2）先由∠BAC=∠ABE=45°，得出AE=BE，再由勾股定理求出斜邊AB，得到半徑，然后根據弧長公式即可求解；
（3）在等腰三角形ABC中，根據三線合一定理即可證得．
解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°；

（2）解：∵∠BAC=∠ABE=45°，
∴AE=BE=2，
∵∠AEB=90°，
∴AB=4，則半徑r=2，
∴弧AE的長為：=；

（3）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
點評：本題主要考查圓周角定理，等腰三角形的性質，勾股定理的綜合運用，難度適中．