Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（－5，0），以OA為半徑作半圓，點C是第一象限內(nèi)圓周上一動點，連結AC、BC，并延長BC至點D，使CD＝BC，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線AC于點E、F，點E為垂足，連結OF．

（1）當∠BAC＝30時，求△ABC的面積；

（2）當DE＝8時，求線段EF的長；

（3）在點C運動過程中，是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，點E的坐標為(，0) ；（，0）；（，0）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ACB=90°，根據(jù)30°的直角三角形的性質求得BC，進而根據(jù)勾股定理求得AC，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；

（2）連接AD，由垂直平分線的性質得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依題意證明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；

（3）當以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似時，分為兩種情況：①當交點E在O，B之間時；②當點E在O點的左側時；分別求E點坐標．

(1)∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，

∴BC=AB=5，

∴AC=，

∴S△ABC=ACBC=；

(2)連接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC，

∴AD=AB=10，

∵DE⊥AB，

∴AE==6，

∴BE=ABAE=4，

∴DE=2BE，

∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE，

∵∠AEF=∠DEB=90°，

∴△AEF∽△DEB，

∴=2，

∴EF=AE=×6=3；

(3)連接EC，設E(x，0)，

當的度數(shù)為60°時，點E恰好與原點O重合；

①0°<的度數(shù)<60°時，點E在O、B之間，∠EOF>∠BAC=∠D，

又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此時有△EOF∽△EBD，

∴，

∵EC是Rt△BDE斜邊的中線，

∴CE=CB，

∴∠CEB=∠CBE，

∴∠EOF=∠CEB，

∴OF∥CE，

∴△AOF∽△AEC

∴，

∴，即，

解得x=，因為x>0，

∴x=；

②60°<的度數(shù)<90°時，點E在O點的左側，

若∠EOF=∠B，則OF∥BD，

∴OF=BC=BD，

∴即解得x=，

若∠EOF=∠BAC，則x=，

綜上點E的坐標為(，0) ；（，0）；（，0）.