Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=x是第一、三象限的角平分線．
（1）觀察與探究：
由圖易知：A（0，2）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0）；B（5，3）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3，5）；請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出C（-6，1）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)C′的位置，并寫出它的坐標(biāo)：C′

 

；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：
結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線L的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

 

（不必證明）；
（3）運(yùn)用與拓廣：已知兩點(diǎn)M（3，-2）、N（-1，-4），試在直線L上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到M、N兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）作C（-6，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C'，C'（1，-6）；
（2）觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（b，a）；
（3）點(diǎn)N關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N'的坐標(biāo)為（-4，-1），可求出點(diǎn)M、點(diǎn)N'的直線解析式為y=-

1

7

x-

11

7

．點(diǎn)Q是直線y=-

1

7

x-

11

7

與直線l：y=x的交點(diǎn)，解方程組：

y=x y=- 1 7 x- 11 7

即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）C′（1，-6）（2分）

（2）（b，a）（4分）

（3）直線L的解析式為y=x
作點(diǎn)N關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)N′（-4，-1），設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b（7分）
則

-1=-4k+b -2=3k+b

k=- 1 7 b=- 11 7

∴y=-

1

7

x-

11

7

（10分）
解方程組

y=x y=- 1 7 x- 11 7

得x=y=-

11

8

∴直線L上的點(diǎn)Q(-

11

8

，-

11

8

)符合條件．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，綜合運(yùn)用了一次函數(shù)的知識(shí)．