Question

請(qǐng)看下面小明同學(xué)完成的一道證明題的思路：如圖1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC邊上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E、F．
求證：PE+PF=CD．
證明思路：
如圖2，過點(diǎn)P作PG∥AB交CD于G，則四邊形PGDE為矩形，PE=GD；又可證△PGC≌△CFP，則PF=CG；所以PE+PF=DG+GC=DC．若P是BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其它條件不變，則PE、PF與CD有何關(guān)系？請(qǐng)你寫出結(jié)論并完成證明過程．

Answer 1

分析：過點(diǎn)C作CG⊥PE于G，則四邊形CGED為矩形，得到CD=EG，同理可證△PGC≌△CFP，則PF=PG，所以PE-PF=PE-PG=GE=CD．

解答：解：結(jié)論：PE-PF=CD．（2分）
證明：
過點(diǎn)C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．
∴四邊形CGED為矩形．（3分）
∴CD=GE，GC∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．
在△PFC和△PGC中，

∠F=∠CGP=90° ∠FCP=∠GCP CP=CP

，
∴△PFC≌△PGC（AAS）．（5分）
∴PF=PG．
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD．（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題通過構(gòu)造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性質(zhì)求解．