Question

已知等腰三角形的周長為20，其中一內角的余弦值是，求這個等腰三角形的腰長．

Answer 1

解：如圖，等腰三角形ABC中，周長為20，
①若底角的余弦值是，則cosB=，
做AD垂直于BC，交BC于點D；
易得AB+BD=（AB+AC+BC）=10，且=
解可得：腰長AB=6，
②若頂角的余弦值是，則cosA=，
做BD垂直于AC，交AC于點D，
設AB=x，則AD=x，由勾股定理可得BD=x，
在Rt△BCD中，CD=x-x=x，BD=x，
解可得：BC=x；
又有AB+AC+BC=20，即2x+x=20，
解可得x=12-2．
答：腰長為6或12-．
分析：分底角或頂角的余弦值是來求解，①若底角的余弦值是，易得AD與AB的關系，進而解可得AB的值，②若頂角的余弦值是，設AB=x，通過解三角形可得BC的長，由周長為20，可得2x+x=20，解可得x即腰長AB的值．
點評：解題時，注意分情況討論，通過輔助線構造直角三角形來尋找思路．