如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,x 軸上有兩點A(-2,0),B(2,0),以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點E 是AD邊的中點,F(xiàn) 是x軸上一動點,連接EF,過點E作EG⊥EF,交BC所在的直線與點G,連接FG.
(1)當(dāng)點F與點A重合時,易得;若點F與點A不重合時,試問的值是否改變?直接寫出正確判斷;
(2)設(shè)點F的橫坐標(biāo)為x(-2<x<2),△FBG的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)當(dāng)點F在 x軸上運動時,判斷有幾個位置能夠使得以點G為頂點三角形和以點B、F、G為頂點的三角形全等?直接寫出相應(yīng)的點F的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)利用△EHG∽△EAF,得出相似三角形對應(yīng)邊的比,即可得出答案;
(2)首先證明△EAF∽△EHG,再表示出△FBG的面積,利用二次函數(shù)最值求出即可;
(3)根據(jù)全等三角形的判定即可得出.
解答:解:(1)仍然成立.
證明:
過點E作EH⊥BC于點H.
∴EH⊥AE.
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°,
∴∠GEH=∠AEF.而∠EAF=∠EHG=90°,
∴△EAF∽△EHG.


(2)過點E作EH⊥BC于點H.
∴EH⊥AE.
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°,
∴∠GEH=∠AEF.而∠EAF=∠EHG=90°,
∴△EAF∽△EHG.

∵AF=x-(-2)=x+2,
∴HG=2(x+2)=2x+4.
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6.
∵BF=2-x.
∴△FBG的面積:S=BF×BG=(2-x)(2x+6).

∴當(dāng)x=時,S的最大值為

(3)滿足要求的點F共有三個位置,
如圖1:當(dāng)F與A重合時,△EFG≌△BGF,
此時點F的坐標(biāo)為(-2,0);
如圖2:∵△EGF≌△BFG時,EF=FB,
設(shè)AF=x,則EF=BF=4-x,
在Rt△EAF中,EF2=AE2+AF2,
∴(4-x)2=x2+4,
解得:x=,
∴OF=OA-AF=2-=
∴此時F點的坐標(biāo)為(-,0);
如圖3:設(shè)AF=x,
則EG=BF=4+x,EF=,GH=2+EF,
∵EG2=EH2+GH2,
∴x=
∴OF=,
∴點F的坐標(biāo)為(-,0).
EH=4,即F1(-2,0),,
點評:此題主要考查了相似三角形的判定和二次函數(shù)的最值問題以及全等三角形的判定等知識,題目綜合性較強,中考中對于最值問題與相似三角形的考查較多,同學(xué)們應(yīng)學(xué)會應(yīng)用知識解決問題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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