Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長(zhǎng)度等于d，試探究d有無最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由．
（3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)F，且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對(duì)稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，得 m=．
∴OC=，OA=AC-OC=，
∴O（0，0）A（，0），B（-，3）．
設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：

解之得：，
∴直線AB的解析式為y=．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，），則M（t，）．
∴d=（）-（）=-=
∴當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2．

（3）設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D．
∵y==，
∴拋物線的對(duì)稱軸x=，頂點(diǎn)D（，-）．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．
①當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．
這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（）．
②當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=，知拋物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或，即或，
分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中，得點(diǎn)
E（，）或E（-，）．
所以在拋物線上存在三個(gè)點(diǎn)：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，求出m的值，進(jìn)而得出O，A，B的坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)式求出拋物線解析式即可；
（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐標(biāo)，進(jìn)而得出關(guān)于PM的解析式，即可得出二次函數(shù)最值；
（3）①當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．
②當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，分別得出E點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．