把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角邊長(zhǎng)均為4)疊放在一起(如圖①),且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿(mǎn)足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分(如圖②).
(1)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的?若存在,求出此時(shí)x的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)可將四邊形CHGK分成兩部分,然后通過(guò)證三角形全等,將四邊形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換來(lái)求解.連接CG,可通過(guò)證明三角形CGK與三角形BGH全等來(lái)得出他們的面積相等,進(jìn)而將四邊形CHGK的面積轉(zhuǎn)換成三角形CGB的面積也就是三角形ABC面積的一半,由此可得出四邊形CHGK的面積是4,所以不會(huì)改變;
(2)連接HK后,根據(jù)(1)中得出的四邊形CHGK的面積為4,可根據(jù)三角形GHK的面積=四邊形CHGK的面積-三角形CHK的面積來(lái)求,如果BH=x,那么根據(jù)(1)的結(jié)果CK=x,有BC的長(zhǎng),那么CH=4-x,由此可得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式.x的取值范圍應(yīng)該大于零小于4;
(3)只需將y=×8代入(2)的函數(shù)式中,可得出x的值.然后判斷x是否符合要求即可.
解答:解:(1)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BH=CK,四邊形CHGK的面積不變.
證明:連接CG,KH,
∵△ABC為等腰直角三角形,O(G)為其斜邊中點(diǎn),
∴CG=BG,CG⊥AB,
∴∠ACG=∠B=45°,
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角,
∴∠BGH=∠CGK,
在△BGH與△CGK中,

∴△BGH≌△CGK(ASA),
∴BH=CK,S△BGH=S△CGK
∴S四邊形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4,
即:S四邊形CHGK的面積為4,是一個(gè)定值,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化;

(2)∵AC=BC=4,BH=x,
∴CH=4-x,CK=x.
由S△GHK=S四邊形CHGK-S△CHK,
得y=4-x(4-x),
∴y=x2-2x+4.
由0°<α<90°,得到BH最大=BC=4,
∴0<x<4;

(3)存在.
根據(jù)題意,得x2-2x+4=×8,
解這個(gè)方程,得x1=1,x2=3,
即:當(dāng)x=1或x=3時(shí),△GHK的面積均等于△ABC的面積的
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn),通過(guò)構(gòu)建全等三角形將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.
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(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的
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?若存在,求出此時(shí)x的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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