Question

【題目】拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)P，且最小值為-2．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)O作PA的平行線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，交拋物線于另一點(diǎn)N，求ON的長(zhǎng)；

（3）拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，使得△EFO∽△AMN，若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為，（或）；（2）；（3）拋物線上存在點(diǎn)E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點(diǎn)共有2個(gè)，分別是（，）和（，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)A（4，0）的縱坐標(biāo)相等，可知點(diǎn)O、A是拋物線上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，所以對(duì)稱軸為直線x=2，又因?yàn)樽钚≈凳?/span>-2，所以頂點(diǎn)為（2，-2），利用頂點(diǎn)式即可用待定系數(shù)法求解；

（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依據(jù)平行線的性質(zhì)得到=45°，依據(jù)等腰直角三角形兩直角邊的關(guān)系可得到=，解出即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求出ON的長(zhǎng)度；

（3）先運(yùn)用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得到EF：FO的值，設(shè)E（，），分點(diǎn)E在第一象限、第二或四象限討論，依據(jù)EF：FO=1

:2列出關(guān)于m的方程解出即可.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)A（4，0），

∴對(duì)稱軸為直線x=2，

又∵頂點(diǎn)為點(diǎn)P，且最小值為-2,，

∴頂點(diǎn)P（2，-2）,

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為

將O（0，0）坐標(biāo)代入，解得

∴拋物線的表達(dá)式為，即；

（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)D，

∵頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-2），

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0）

又∵A（4，0），

∴△ADP是以為直角的等腰直角三角形，=45°

又∵ON∥PA ，

∴=45°

∴若設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（,）則=

解得，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）

∴

（3）拋物線上存在一個(gè)點(diǎn)E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：

連接PO、AM，

∵=45°，=90°,

∴，

又∵由點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），得OD=2，

∴，

又∵=90°,由A（4，0），D（2，0）得AD=2，

∴,

同理可得,

∴,

∴AM：MN=： =1：2

∵△EFO∽△AMN

∴EF：FO=AM：MN=1：2

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）（其中），

①當(dāng)點(diǎn)E在第一象限時(shí)，，

解得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），

②當(dāng)點(diǎn)E在第二象限或第四象限時(shí)，，

解得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）

綜上所述，拋物線上存在一個(gè)點(diǎn)E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點(diǎn)共有2個(gè)，分別是（，）和（，）．