Question

【題目】如圖，△ABC，△EFG分別是邊長為2和1的等邊三角形，D是邊BC，EF的中點，直線AG，FC相交于點M，當△EFG繞點D旋轉一周時，點M經(jīng)過的路徑長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AD、DG，易證△ADG∽△CDF，∠DAG＝∠DCF，通過推導角的關系證明∠AMC＝90°，則點M在以AC為直徑的圓周上運動，進而可解決問題．

如圖，連接AD、DG．

∵△ABC，△EFG均是邊長為2和1的等邊三角形，BD＝CD，DE＝DF，

∴AD⊥BC，GD⊥EF，

∴∠ADC＝∠GDF＝90°，

∴∠ADG＝∠CDF，

∵，

∴△ADG∽△CDF，

∴∠DAG＝∠DCF，

∵∠DAG+∠MAC+∠ACD＝90°，

∴∠DCF+∠ACD+∠CAM＝∠ACM+∠CAM＝90°，

∴∠AMC＝90°，

∴在旋轉過程中，∠AMC＝90°不變，

∴點M在以AC為直徑圓周上運動，且點M運動的路徑是來回共兩個的圓周，

∴點M經(jīng)過的路徑長為π，

故答案為：π．