Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、，交軸于點．

（1）拋物線頂點的坐標為________；

（2）如圖2，連接、．將沿軸方向以每秒1個單位長度的速度向右平移得到，運動時間為秒．當時，求與重疊面積與的函數解析式，并求出的最大值；

（3）如圖3中，將繞點順時針旋轉一定的角度得到，邊與拋物線的對稱軸交于點．在旋轉過程中，是否存在一點，使得？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的坐標為；（2）當時，有最大值；（3）或

【解析】

（1）根據點A和點B的坐標可得二次函數的解析式為，然后將其化為頂點式即可得出結論；

（2）根據t的取值范圍分類討論，然后利用的面積減去其余各三角形的面積即可分別求出與的函數解析式，然后利用二次函數的性質求最值即可；

（3）如圖，設為，點M為（1，m），過點A′作A′P⊥y軸于P,過點C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′，列出比例式即可求出點C′的坐標，根據三角形外角的性質和等角對等邊可證為的中點，利用勾股定理求出點M的坐標即可求出點a和b，從而求出點A′的坐標．

（1）解：由已知拋物線與軸交于、，

∴二次函數的解析式為

∴，

∴頂點的坐標為．

（2）解：當x=0時，y=-3

所以點C的坐標為（0，-3）

①如圖，當時，

，

∴當時，有最大值；

②如圖，當時，，

∴當時，有最大值；

∵，當時，有最大值．

（3）解：如圖，設為，點M為（1，m），過點A′作A′P⊥y軸于P,過點C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′

∴

可得．

旋轉過程中，若存在一點使得，則為的中點，

∵，

∴．

∴

解得：m=

∴或

∴或

解得：或

∴或．