Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，，以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C8方向以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

(1)設(shè)點(diǎn)M為半圓上任意一點(diǎn)，則DM的最大值為______，最小值為______.

(2)設(shè)PQ交半圓于點(diǎn)F和點(diǎn)G(點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；

(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ和半圓能否相切？若相切，請(qǐng)求出此時(shí)l的值，若不能相切，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)點(diǎn)N是半圓上一點(diǎn)，且，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與半圓的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)N，直接寫(xiě)出此時(shí)t的值。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)4；(3)不能相切；(4)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與半圓的交點(diǎn)恰好為點(diǎn).

【解析】

(1) 找出DM最大和最小的位置，即可得出結(jié)論；（2）先確定出AP=3，進(jìn)而得出∠OFE=30°，即可得出∠FOG=120°，最后用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)PQ與半圓相切，進(jìn)而表示出PQ=12-2t．QH=12-4t，再用勾股定理建立122+（12-4t）2=（12-2t）2，判斷出出此方程無(wú)解，即可得出結(jié)論．(4)先判斷出0≤t≤4，再利用S扇形BON=6π，求出∠BON=60°，再判斷出AP始終小于AI，最后得出，建立方程即可得出結(jié)論．

解：(1)如圖，連接OD，此時(shí)DM最小，

在中，，

；

當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)B重合時(shí)，連接BD，

DM最大，

故答案為：，

(2)四邊形ABCD是正方形，

，，

當(dāng)時(shí)，四邊形ABQP是矩形，

，

∵，，

，

，解得

，

如圖1，設(shè)PQ交半圓于F，G，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，連接OF、OG，

，

∵，

，

∵，

，

∴的長(zhǎng)度

(3)不能相切．

理由：若PQ與半圓O相切，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)S，如圖2，

由切線長(zhǎng)定理，得，，

．

過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，

四邊形APHB是矩形，

，

，

∵在中，，

即：.

∵，此方程無(wú)解，

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，和半圓不能相切；

(4)∵點(diǎn)是以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，.

，

∵點(diǎn)是以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

即.

如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，

∵，

.

∵，

，.

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，不符合題意，

始終小于，

，，

∵，，

，.

∵，

.

，解得，

∵，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與半圓的交點(diǎn)恰好為點(diǎn).