Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．

（1）求證：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作△AEC的內(nèi)接矩形，使其頂點Q落在線段AE上，定點M、N落在線段AC上，當(dāng)線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由矩形和翻折的性質(zhì)可知：AD=CE，DC=EA，

在△ADE與△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）

（2）

解：如圖1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

設(shè)DF=x，則AF=CF=4﹣x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4﹣x）2，

解得：x= ，

即DF=

（3）

解：如圖2，由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC= =5

設(shè)PE=x（0＜x＜3），則 ，即PQ=

過E作EG⊥AC于G，則PN∥EG，

∴

又∵在Rt△AEC中，EGAC=AECE，解得EG= ，

∴ = ，即PN= （3﹣x），

設(shè)矩形PQMN的面積為S，

則S=PQPN=﹣ x2+4x=﹣ +3（0＜x＜3）

所以當(dāng)x= ，即PE= 時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．

【解析】（1）由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE，DC=EA，根據(jù)“SSS”可求得△DEC≌△EDA；（2）根據(jù)勾股定理即可求得．（3）由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA，所以 ，從而求得PQ，由PN∥EG，得出 ，求得PN，然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式，即可求得．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．