如圖,把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開,得到“2開”紙,“4開”紙,“8開”紙,“16開”紙….已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長(zhǎng)為a.
(1)如圖2,把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對(duì)開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊:
第一步:將矩形的短邊AB與長(zhǎng)邊AD對(duì)齊折疊,點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處,鋪平后得折痕AE;
第二步:將長(zhǎng)邊AD與折痕AE對(duì)齊折疊,點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合,鋪平后得折痕AF.
則AD:AB的值是______
【答案】分析:(1)在圖2中,由折疊的性質(zhì)知,AD=AE,AB=AB′=B′E,∠AB′E=∠B=90°,所以△AB′E是等腰直角三角形,故有AD:AB=,由圖知,16開紙的長(zhǎng)邊是1開紙的長(zhǎng)邊和四分之一,16開紙的短邊也是1開紙的短邊和四分之一,故AD=a,AB=a;
(2)由(1)知,1開紙的長(zhǎng)邊為a,由折疊的性質(zhì)知,“2開”紙的短邊是1開紙的長(zhǎng)邊的一半,長(zhǎng)邊是1開紙的短邊,“4開”紙的短邊是2開紙的長(zhǎng)邊的一半,長(zhǎng)邊是2開紙的短邊,“8開”紙的短邊是4開紙的長(zhǎng)邊的一半,長(zhǎng)邊是4開紙的短邊,故“2開”紙,“4開”紙,“8開”紙的長(zhǎng)與寬之比都相等都等于;
(3)設(shè)DG=x,由同角的余角相等可得△HDG∽△GCF,有,得CF=2DG=2x.
同理∠BEF=∠CFG.由EF=FG,得△FBE≌△GCF,有BF=CG由CF+BF=BC,得,求解即為DG的值.
(4)
“4開”紙的短邊和短都是1開紙的長(zhǎng)邊和短邊的一半,分別為a,a,如圖,梯形有兩種情況,①如左圖,MN=MQ=2QP=a,則它的面積=(MN+PQ)•MQ=a2
②如右圖,由于“4開”紙的短邊和短都是16開紙的長(zhǎng)邊和短邊的2倍,則有BQ=2×a=a,AQ=a,AM=(-1)a.由勾股定理知,MQ2=AM2+AQ2=a,
∴此時(shí)的梯形的面積=(MN+PQ)•MQ=a2
解答:解:(1)

(2)相等,比值為

(3)設(shè)DG=x
在矩形ABCD中,∠B=∠C=∠D=90°
∵∠HGF=90°
∴∠DHG=∠CGF=90°-∠DGH
∴△HDG∽△GCF

∴CF=2DG=2x
同理∠BEF=∠CFG
∵EF=FG
∴△FBE≌△GCF
∴BF=CG=a-x
∵CF+BF=BC

解得
;

(4)a2a2
點(diǎn)評(píng):本題利用了:1、折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;
2、等腰直角三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì),梯形的面積公式等知識(shí)點(diǎn).
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第一步:將矩形的短邊AB與長(zhǎng)邊AD對(duì)齊折疊,點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處,鋪平后得折痕AE;
第二步:將長(zhǎng)邊AD與折痕AE對(duì)齊折疊,點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合,鋪平后得折痕AF.
則AD:AB的值是
 
,AD,AB的長(zhǎng)分別是
 
 
;
(2)“2開”紙,“4開”紙,“8開”紙的長(zhǎng)與寬之比是否都相等?若相等,直接寫出這個(gè)比值;若不相等,請(qǐng)分別計(jì)算它們的比值;
(3)如圖3,由8個(gè)大小相等的小正方形構(gòu)成“L”型圖案,它的四個(gè)頂點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在“16開”紙的邊AB,BC,CD,DA上,求DG的長(zhǎng);
(4)已知梯形MNPQ中,MN∥PQ,∠M=90°,MN=MQ=2PQ,且四個(gè)頂點(diǎn)M,N,P,Q都在“4開”紙的邊上,請(qǐng)直接寫出2個(gè)符合條件且大小不同的直角梯形的面積.
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