Question

如圖所示，已知AB∥CD，試說明∠CEA＝∠A＋∠C成立的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由條件AB∥CD，可以得出同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等結(jié)論，而觀察圖形并不存在這些角，若過E點(diǎn)有一條直線也與AB，CD平行就好了，圖中沒有我們便可以添加輔助線，如圖所示． 　　過E作直線EF，使EF∥AB，如圖所示 　　因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以EF∥CD(平行于同一直線的兩直線平行)．所以∠A＝∠FEA，∠C＝∠FEC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．所以∠A＋∠C＝∠FEA＋∠FEC(等量加等量和相等)，即∠CEA＝∠A＋∠C． 　　解法二：從圖形中看，若把CE延長交AB于F，這樣就形成AB、CD被CF所截，可產(chǎn)生內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，如圖所示． 　　延長CE交AB于F，因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以∠C＝∠AFE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)． 　　因?yàn)椤螦＋∠AFE＋∠AEF＝(三角形內(nèi)角和定義)，所以∠AEC＝∠A＋∠AFE(等量減等量差相等)．所以∠AEC＝∠A＋∠C(等量代換)． 　　解法三：觀察圖形還可以想到，若連結(jié)AC也可產(chǎn)生同旁內(nèi)角，如圖所示． 　　連結(jié)AC，因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以∠DCA＋∠BAC＝(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，即∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝ 　　又因?yàn)椤?＋∠2＋∠AEC＝(三角形內(nèi)角和性質(zhì)) 　　所以∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝∠1＋∠2＋∠AEC(等量代換) 　　所以∠3＋∠4＝∠AEC(等量減等量差相等)． 　　即∠AEC＝∠A＋∠C． 　　說明：本題三種輔助線的作法都是為了構(gòu)成同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，即應(yīng)用平行線的性質(zhì)．第一種輔助線的添法，把兩條平行線轉(zhuǎn)化成了三條平行線，但要注意，過直線外一點(diǎn)作一條直線只能與一條直線平行，要想得到與另一直線也平行的結(jié)論必須經(jīng)過說明，如此說法中應(yīng)用“平行于同一直線的兩直線平行”來得到EF也平行于CD，第二、三種解法都用到了三角形內(nèi)角和等于的性質(zhì)．