Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中．二次函數(shù)y=a（x-2）²-1圖象的頂點(diǎn)為P，與x軸交點(diǎn)為A、B，與y軸交點(diǎn)為C．連接BP并延長交y軸于點(diǎn)D．連接AP，△APB為等腰直角三角形．

（1）求a的值和點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)；
（2）連接BC、AC、AD．將△BCD繞點(diǎn)線段CD上一點(diǎn)E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到一個新三角形．設(shè)該三角形與△ACD重疊部分的面積為S．
①當(dāng)點(diǎn)E在（0，1）時，在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并出求S；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段CD（端點(diǎn)C、D除外）上運(yùn)動時，設(shè)E（0，b），用含b的代數(shù)式表示S，并判斷當(dāng)b為何值時，重疊部分的面積最大，寫出最大值．

Answer 1

分析：（1）易知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），根據(jù)三角形APB為等腰直角三角形，那么AB=2，由于拋物線的對稱軸為x=2，因此A（1，0），B（3，0），將A或B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出a的值．進(jìn)而可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．由于∠ABP=45°，因此三角形OBD也是等腰直角三角形，那么OB=OD，由此可求出D的坐標(biāo)．
（2）①當(dāng)OE=1時，那么C′E=CE=2，根據(jù)EF∥OA可求得EF=

2

3

，因此S=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

；
②思路同①，但要分類討論：
當(dāng)b≥0，時，那么根據(jù)①的思路，可求得C′E=CE=3-b，EF=

1

3

（3-b），因此S=

1

2

CE•EF=

1

6

（3-b）²．
當(dāng)旋轉(zhuǎn)后當(dāng)B′D′過A時，GE=ED′，GE=1-b，DE=3+b，因此b=-1，那么當(dāng)b＜0時，要分兩種情況進(jìn)行討論：
一：當(dāng)-1＜b≤0時，重合部分是個五邊形，可過F作y軸的垂線，將其分割成一個小直角三角形和兩個直角梯形來計算．
二：當(dāng)-3＜b＜-1時，重合部分是個不規(guī)則的四邊形，可過F作y軸的垂線，將其分割成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
得出函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值．

解答：解：（1）a=1，P（2，-1），C（0，3），D（0，-3）；

（2）畫出圖形

易知：△CC′E是等腰直角三角形，
因此C′E=CE=2，
∵EF∥OA，
∴

EF

OA

=

CE

OC

，即EF=

2

3

．
∴S=

1

2

×EF×CE=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

，
∴重合部分的面積為S=

2

3

；

（3）當(dāng)b≥0如圖，可用相似三角形的面積求s=

1

6

(b-3)2，
∴當(dāng)b=0時，Smax=

3

2

，
當(dāng)b＜0時，BD旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過A時，b=-1，
當(dāng)-1＜b≤0時，S=-

7

6

b²-b+

3

2

=-

7

6

（b+

3

7

）²+

12

7

，
∴當(dāng)b=-

3

7

時，Smax=

12

7

．
當(dāng)-3＜b≤-1時，S=

1

3

（3+b）²，
∴當(dāng)b=-1時Smax=

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．難度較大．