Question

如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D，一個直徑與AD相等的圓與BC相切于點E，與AB相切于點F，連接EF。

（1）判斷EF與AC的位置關系（不必說明理由）；；

（2）如圖（2），過E作BC的垂線，交圓于G，連接AG，判斷四邊形ADEG的形狀，并說明理由。

（3）求證：AC與GE的交點O為此圓的圓心．

 

Answer 1

【答案】

（1）EF∥AC；（2）四邊形ADEG為矩形。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)∠EFB與∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等邊三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE為等邊三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可證明EF∥AC；

（2）根據(jù)圓切BC于E，EG為直徑，AD=EG，AD⊥BC，可判定四邊形ADEG為矩形；

（3）由（1）（2）的結論，證明AC垂直平分FG；再根據(jù)垂徑定理，可知AC必過圓心，又EG為直徑，所以AC與GE的交點O為此圓的圓心．

（1）EF∥AC；

（2）四邊形ADEG為矩形。

理由：∵EG⊥BC，E為切點，

∴EG為直徑，

∴EG=AD

又∵AD⊥BC，EG⊥BC，

∴AD∥EG，即四邊形ADEG為矩形。

（3）連接FG，

由（2）可知EG為直徑，

∴ FG⊥EF，

又由（1）可知，EF∥AC，

∴AC⊥FG，

又∵四邊形ADEG為矩形，

∴EG⊥AG，則AG是已知圓的切線。

而AB也是已知圓的切線，則AF=AG，

∴ AC是FG的垂直平分線，故AC必過圓心，

因此，圓心O就是AC與EG的交點。

說明：也可據(jù)△AGO≌△AFO進行說理。

考點：本題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)和垂徑定理

點評：解答本題的關鍵是要熟練掌握矩形的判定和圓中的有關性質(zhì)才能靈活的解題．