Question

（2006•賀州）已知拋物線y=x²-4x+m與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊），與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)（用數(shù)或含m的代數(shù)式表示）；
（2）若AB=6，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△AOP≌△COP？如果存在，請確定點(diǎn)P的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的對稱軸為x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）據(jù)此可求出對稱軸和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)AB=6，以及（1）得出的拋物線的對稱軸即可確定出A、B的坐標(biāo)，然后將A或B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）的拋物線不難得出A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．因此要想使△AOP≌△COP，兩三角形中已有了OA=OC、OP=OP，因此這兩組對應(yīng)邊的夾角必相等，即∠AOP=∠COP，那么P點(diǎn)就是直線y=-x與拋物線的交點(diǎn)．聯(lián)立兩個函數(shù)式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意拋物線的對稱軸為x=-=2；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m-4）．

（2）根據(jù)AB=6，拋物線的對稱軸為x=2可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（5，0）；B（-1，0）．
由于拋物線過A點(diǎn)，則有：0=25-20+m，m=-5．
因此拋物線的解析式為y=x²-4x-5．

（3）根據(jù)拋物線的解析式可知：C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-5）．
因此OC=OA=5，如果△AOP≌△COP，那么∠AOP=∠COP，P在二四象限的角平分線上即y=-x上，
由題意可知：
解得：，
因此存在這樣的P點(diǎn)，且P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）或（，）．
點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．