Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB與x、y軸分別交于點(diǎn)A（4，0）、B（0， ）兩點(diǎn)，∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)D，且與x軸交于另一點(diǎn)E．
（1）求證：y軸是⊙G的切線．
（2）求出⊙G的半徑；
（3）連結(jié)EC，求△ACE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接GD，如圖1，

∵∠OAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D，

∴∠GAD=∠DAO，

∵GD=GA，

∴∠GDA=∠GAD，

∴∠GDA=∠DAO，

∴GD∥OA，

∴∠BDG=∠BOA=90°，

∵GD為半徑，

∴y軸是⊙G的切線

（2）解：∵A（4，0），B（0， ），

∴OA=4，OB= ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB= ，

設(shè)半徑GD=r，則BG= ﹣r，

∵GD∥OA，

∴△BDG∽△BOA，

∴ ，

r=4（ ﹣r），

∴r=2.5

（3）解：連接CE，如圖2，

∵AC是圓的直徑，

∴∠AEC=∠BOE=90°，

∴CE∥OB，

∴△ACE∽△ABO，

∴ ，

設(shè)OE=a，則AE=4﹣a，

∴CE= （4﹣a），

∵CE2+AE2=AC2，

∴ （4﹣a）2+（4﹣a）2=25，

∴a=1或a=7（不合題意，舍去）

∴AE=3，由勾股定理可得CE=4，

∴△ACE的面積= AECE= ×3×4=6．

【解析】（1）連接DG，要證明y軸是⊙G的切線，只需要連接GD后證明GD⊥OB即可．（2）由（1）可知GD∥OA，則△BDG∽△BOA，設(shè)半徑為r后，利用對應(yīng)邊的比相等列方程即可求出半徑r的值．（3）連接CE，設(shè)OE=a，則AE=4﹣a，易證△ACE∽△ABO，由相似三角形的性質(zhì)可得到CE和OE數(shù)量關(guān)系，再利用勾股定理可求出a的值，進(jìn)而可求出數(shù)△ACE的面積．