Question

將一根拉直的繩子剪一刀分成二段．要把一根拉直的繩子分成n＋1段，需要n刀，這就是說(shuō)線段上n個(gè)點(diǎn)，將線段分成n＋1段，但是將一根繩子對(duì)折以后再剪一刀，繩子變成了3段；將一根繩子對(duì)折兩次后再剪一刀，繩子變成5段，試問(wèn)：

(1)將一根繩子對(duì)折4次后，剪一刀，繩子變成幾段？

(2)將一根繩子對(duì)折2003次后，剪一刀，繩子變成幾段？

(3)能否將一根繩子對(duì)折若干次后，剪一刀，繩子變成2003段，如果能，求出對(duì)折的次數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)對(duì)折4次，繩子變成25－24＋1＝17段． 　　(2)對(duì)折2003次后，繩子變成22004－22003＋1段． 　　(3)不能，∵2n+1－2n＋1＝2003，∴2n+1－2n＝2002，2(2n－2n－1)＝2002，2n－2n－1＝1001，顯然如果n存在，則n＞2，故等式左邊為偶數(shù)，而右邊為奇數(shù)，這是不可能的．

提示：

對(duì)折1次，繩子變成22－2＋1＝3段；對(duì)折2次，繩子變成23－22＋1＝5段；對(duì)折3次，繩子變成24－23＋1＝9段，對(duì)折4次，繩子變成25－24＋1＝17段；……；對(duì)折n次，繩子變成2n+1－2n＋1段．