【題目】如圖,∠AOB=30°,∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,且OP=10.在OA上有一點(diǎn)Q,OB上有一點(diǎn)R.若△PQR周長(zhǎng)最小,則最小周長(zhǎng)是( 。

A.10
B.15
C.20
D.30

【答案】A
【解析】解:設(shè)∠POA=θ,則∠POB=30°﹣θ,作PM⊥OA與OA相交于M,并將PM延長(zhǎng)一倍到E,即ME=PM.
作PN⊥OB與OB相交于N,并將PN延長(zhǎng)一倍到F,即NF=PN.
連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ,PR,則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形.
∵OA是PE的垂直平分線,
∴EQ=QP;
同理,OB是PF的垂直平分線,
∴FR=RP,
∴△PQR的周長(zhǎng)=EF.
∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°﹣θ)=60°,
∴△EOF是正三角形,∴EF=10,
即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為10.
故選A.

先畫出圖形,作PM⊥OA與OA相交于M,并將PM延長(zhǎng)一倍到E,即ME=PM.作PN⊥OB與OB相交于N,并將PN延長(zhǎng)一倍到F,即NF=PN.連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ,PR,則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形.再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR=EF,再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解.

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