Question

【題目】如圖，E、F兩點(diǎn)分別在平行四邊形ABCD的邊CD、AD上，AE＝CF，AE、CF相交于點(diǎn)O．

（1）用尺規(guī)作出∠AOC的角平分線OM（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：OM一定經(jīng)過B點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）用尺規(guī)作出∠AOC的角平分線OM即可；

（2）根據(jù)同底等高的三角形和平行四邊形面積的關(guān)系可以證明S△ABE=S△BCF，作BG⊥OC于點(diǎn)G，BH⊥OA于點(diǎn)H，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證明OM一定經(jīng)過B點(diǎn)．

解：（1）如圖，OM即為所求；

（2）如圖，連接BE、BF，

∵△ABE以AB為底，高是平行四邊形AB邊的高，

∴S△ABE＝S平行四邊形ABCD，

同理S△BCF＝S平行四邊形ABCD，

∴S△ABE＝S△BCF，

作BG⊥OC于點(diǎn)G，BH⊥OA于點(diǎn)H，

∴S△ABE＝AEBH，

S△BCF＝CFBG，

∵S△ABE＝S△BCF，AE＝CF，

∴BH＝BG，

∵BG⊥OC，BH⊥OA，

∴點(diǎn)B在∠AOC的平分線上，

即OM一定經(jīng)過B點(diǎn)．