【答案】
分析:(1)由F為BD中點(diǎn),DE⊥AB,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可得到CF=EF;
(2)過點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G,設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q.由tan∠BAC=
,得到
.證明△BCG∽△ACE,得到
.得到GB=DE,得到F是EG中點(diǎn).于是
,即可得到BE-DE=EG=2CF;
(3)分類討論:當(dāng)AD=
時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連接MF和CM,tan∠BAC=
,且BC=6,計(jì)算出AC=12,AB=
.M為AB中點(diǎn),則CM=
,F(xiàn)M=
=2.當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大,此時(shí)CF=CM+FM=
;當(dāng)AD=
時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連接MF和CM,類似于情況1,可知CF的最大值為
.即可得到線段CF長(zhǎng)度的最大值.
解答:解:(1)∵F為BD中點(diǎn),DE⊥AB,
∴CF=
BD,EF=
BD,
∴CF=EF,
∴k=1;
故答案為1.
(2)如圖,過點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G,設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q.
由題意,tan∠BAC=
,
∴
.
∵D、E、B三點(diǎn)共線,
∴AE⊥DB.
∵∠BQC=∠AQD,∠ACB=90°,
∴∠QBC=∠EAQ.
∵∠ECA+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°,
∴∠ECA=∠BCG.
∴△BCG∽△ACE.
∴
∴GB=DE.
∵F是BD中點(diǎn),
∴F是EG中點(diǎn).
在Rt△ECG中,
,
∴BE-DE=EG=2CF;
(3)情況1:如圖,當(dāng)AD=
時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連接MF和CM,
∵∠ACB=90°,tan∠BAC=
,且BC=6,
∴AC=12,AB=
.
∵M(jìn)為AB中點(diǎn),
∴CM=
,
∵AD=
,
∴AD=4.∵M(jìn)為AB中點(diǎn),F(xiàn)為BD中點(diǎn),
∴FM=
=2.
如圖:∴當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大,
此時(shí)CF=CM+FM=
.
情況2:如圖,當(dāng)AD=
時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連接MF和CM,
類似于情況1,可知CF的最大值為
.
綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的
三等分點(diǎn)時(shí),線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為
.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì).也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.