Question

閱讀材料
如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．
解決問題
（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）

Answer 1

【答案】分析：（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；
（2）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為；
（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為tan．
解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：
如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，

∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．

（2）答：（1）中的結(jié)論不成立．
如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，
∴=tan30°=，∠BOC=90°．
∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，
∴=tan30°=，∠DOF=90°．
∴==．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵==，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴=．

（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，
∴=tan，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，
∴=tan，∠DOF=90°．
∴==tan．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵==tan，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴=tan．
點評：本題是幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．本題（1）（2）（3）問的解題思路一脈相承，由特殊到一般，有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究．