Question

已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長。

 

Answer 1

 

證明：（1）連接FO

易證OF∥AB

∵AC⊙O的直徑

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE

∴FC＝FE，OE＝OC

∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE

∵Rt△ABC

∴∠ACB＝90°

即：∠0CE＋∠FCE＝90°

∴∠0EC＋∠FEC＝90°

即：∠FEO＝90°

∴FE為⊙O的切線

（2）

∵⊙O的半徑為3

∴AO＝CO＝EO＝3

∵∠EAC＝60°，OA＝OE

∴∠EOA＝60°

∴∠COD＝∠EOA＝60°

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3

∴CD＝

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，

CD＝，AC＝6

∴AD＝