Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．  
（1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；     
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？      
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．         
∴=．（0＜＜4） 
（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO="OD" =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．  
∴，
∴． 
過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則． 
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，
．
∴x＝． 
∴ 當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．
（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．
∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO ∽△ABP．  
∴． AM＝MB＝2． 
故以下分兩種情況討論：
① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，．  
② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)．
∵ 四邊形AMPN是矩形，  
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．
∴ FN＝BM＝4－x． 
∴．
又△PEF ∽△ACB． 
∴．
∴．
＝．

（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當(dāng)，那么可通過(guò)求三角形AMN的面積來(lái)得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據(jù)三角形AMN和ABC相似，根據(jù)相似比的平方等于面積比來(lái)得出三角形AMN的面積；
（2）當(dāng)圓O與BC相切時(shí)，O到BC的距離就是MN的一半，那么關(guān)鍵是求出MN的表達(dá)式，可根據(jù)三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達(dá)式，也就求出了O到BC的距離的表達(dá)式，如果過(guò)M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數(shù)以及BM的表達(dá)式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達(dá)式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面積首先看P點(diǎn)在三角形ABC內(nèi)部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當(dāng)P落到BC上時(shí)，x的取值，那么P落點(diǎn)BC上時(shí)，MN就是三角形ABC的中位線，此時(shí)AM=2，因此可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，此時(shí)重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經(jīng)求出，即可的x，y的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如果設(shè)PM，PN交BC于E，F(xiàn)，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過(guò)三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來(lái)求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個(gè)平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達(dá)式，就可以求出PF的表達(dá)式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數(shù)關(guān)系式．