如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．

(1)求證：△AMB≌△ENB；

(2)①當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最��；

②當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；

(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長．

答案：
解析：

　　解：(1)∵△ABE是等邊三角形，

　　∴BA＝BE，∠ABE＝60°．

　　∵∠MBN＝60°，

　　∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN．

　　即∠BMA＝∠NBE．

　　又∵M(jìn)B＝NB，

　　∴△AMB≌△ENB(SAS)．　5分

　　(2)①當(dāng)M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小．　7分

　�、谌鐖D，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，

　　AM＋BM＋CM的值最�。�9分

　　理由如下：連接MN．由⑴知，△AMB≌△ENB，

　　∴AM＝EN．

　　∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

　　∴△BMN是等邊三角形．

　　∴BM＝MN．

　　∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM．　10分

　　根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

　　∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長．　11分

　　(3)過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，

　　∴∠EBF＝90°－60°＝30°．

　　設(shè)正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝．

　　在Rt△EFC中，

　　∵EF2＋FC2＝EC2，

　　∴()2＋(x＋x)2＝．　12分

　　解得，x＝(舍去負(fù)值)．

　　∴正方形的邊長為．　13分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設(shè)AC=2a，BD=2b，請推導(dǎo)這個四邊形的性質(zhì)．（至少3條）
（提示：平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手．）

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如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四邊形ABCD的面積．

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精英家教網(wǎng)如圖，四邊形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度數(shù)．

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如圖，四邊形ABCD為正方形，E是BC的延長線上的一點，且AC=CE，求∠DAE的度數(shù)．

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如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”，其余條件不變，則結(jié)論AE=EF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

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