如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M,連接PB.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點Q,使△QMB與△PMB的面積相等?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(3)在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R,使△RPM與△RMB的面積相等?若存在,直接寫出點R的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)把三點坐標代入函數(shù)式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;
(2)求得拋物線頂點P,從直線BC的斜率算起,設過點P的直線,解得直線代入拋物線解析式解得點Q;
(3)求得點M,由點M,P的縱坐標關(guān)系可知,點R存在,y=2代入解得.
解答:解:(1)把三點代入拋物線解析式

即得:,
所以二次函數(shù)式為y=-x2+2x+3;

(2)由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
則頂點P(1,4),
由B,C兩點坐標可求直線BC解析式為y=-x+3,
設過點P與直線BC平行的直線為:y=-x+b′,
將點P(1,4)代入,得y=-x+5,
則過點P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立,有則存在點Q,
-x2+2x+3=-x+5,
即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2,
代入直線則得點(1,4)或(2,3),
已知點P(1,4),
所以點Q(2,3),
由對稱軸及直線BC解析式可知M(1,2),PM=2,
設過P′(1,0)且與BC平行的直線為y=-x+f,
將P′代入,得y=-x+1,
聯(lián)立,解得,
∴Q(2,3)或(,)或Q(,);

(3)由題意求得直線BC代入x=1,則y=2,
∴M(1,2),
由點M,P的坐標可知:
點R存在,即過點M平行于x軸的直線,
則代入y=2,x2-2x-1=0,
解得x=1-(在對稱軸的左側(cè),舍去),x=1,
即點R(1).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用,考查到了三點確定二次函數(shù)解析式,兩直線相等,即斜率相等,兩三角形面積相等,由同底等高;點M的縱坐標的長度是點P的一半,從而解得.本題邏輯思維性強,需要耐心和細心,是道好題.
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1
2
,
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),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標,寫出一條正確的結(jié)論,并通過計算說明;
(3)設A,B兩點的橫坐標分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點,試問當x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
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已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B,點A的坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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