Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=900，∠B=∠E=300.

（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；

② 設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2。則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 。

（2）猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想。

（3）拓展探究

已知∠ABC=600，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，OE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4），若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF =S△BDC,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】解：（1）①DE∥AC。②。

（2）仍然成立，證明如下：

∵∠DCE=∠ACB=900，∴∠DCM＋∠ACE=1800。

又∵∠ACN＋∠ACE=1800，∴∠ACN =∠DCM 。

又∵∠CAN=CMD==900，AC=CD，∴△ANC≌△DMC（AAS）。∴AN=DM。

又∵CE=CB，∴。

（3） 或。

【解析】（1）①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，

∵∠C=900，∠B=∠DCE=300，∴∠DAC=∠CDE=600。∴△ADC是等邊三角形。

∴∠DCA=600。∴∠DCA=∠CDE=600。∴DE∥AC。

②過(guò)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)E作EM⊥AC交AC延長(zhǎng)線于M，過(guò)C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F。

由①可知：△ADC是等邊三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM。

∴CF=EM。

∵∠C=900，∠B =300，∴AB=2AC。

又∵AD=AC，∴BD=AC。

∵，∴。

（2）通過(guò)AAS證明△ANC≌△DMC，即可得AN=DM，從而由CE=CB得到。

（3）如圖所示，作DF1∥BC交BA于點(diǎn)F1，作DF2⊥BD交BA于點(diǎn)F2。F1，F2即為所求。

按照（1）（2）求解的方法可以計(jì)算出，。