Question

如圖，有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB＝a，AD＝b，BE＝x．(1)求證：AF＝EC；(2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作．①當(dāng)x∶b為何值時，直線經(jīng)過原矩形的一個頂點．②在直線經(jīng)過原矩形的一個頂點的情況下，連接，直線與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當(dāng)a與b有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解答(1)∵EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，則有 　　(x＋AF)·a＝(b－x＋b－AF)·a， 　　x＋AF＝b－x＋b－AF，AF＝b－x． 　　又EC＝b－x，∴AF＝EC． 　　(2)①當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點D時，如圖， 　　∵DC＝＝a，EC∥，∴DE＝，∴2EC＝，即2(b－x)＝x，2b＝3x，∴x∶b＝2∶3． 　　當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點A時，如圖． 　　∵DC＝＝a，AD∥EC∥，∴AE＝， 　　∴2EC＝＋AD． 　　即2(b－x)＝x＋b，解得x∶b＝1∶3． 　　∴當(dāng)x∶b的值為或時，直線經(jīng)過原矩形的一個頂點． 　�、诋�(dāng)直線經(jīng)過原矩形頂點D時，如圖，∥EF． 　　證明如下：連結(jié)BF．∵FD∥BE，FD＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形， 　　∴BF∥DE，BF＝DE． 　　又DC＝，EC∥，∴DE＝． 　　又BF∥，BF＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥EF． 　　當(dāng)直線經(jīng)過原矩形頂點A時，如圖，顯然與EF不平行，設(shè)直線EF與的交點為G． 　　∵∠FEM＝∠EFA＝，又∠BEG＝∠FEM，∴∠BEG＝． 　　若∠BEG＝，則⊥EF． 　　當(dāng)∠BEG＝時，⊥EF，則△BGE≌．＝， 　　∴＝，a2＝b2， 　　∵a＞0，b＞0，∴＝，因此可推知，當(dāng)＝時，與EF垂直．

提示：

注意：本題難度較大，解本題的關(guān)鍵是看懂題意，如“將梯形ABEF沿AB對稱翻折”，“平移拼接在梯形ECDF的下方”的意義，并畫出正確的圖形．