Question

【題目】矩形對角線的四等分點(diǎn)叫做矩形的奇特點(diǎn)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為拋物線上的兩個動點(diǎn)（在的左側(cè)），且軸，以為邊畫矩形，原點(diǎn)在邊上．

（1）如圖1，當(dāng)矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖2，在點(diǎn)，的運(yùn)動過程中，連結(jié)交拋物線于點(diǎn)．

①求證：點(diǎn)為矩形的奇特點(diǎn)；

②連結(jié)，若，拋物線上的點(diǎn)為矩形的另一奇特點(diǎn)，求經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①見解析；②半徑為

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式，把C點(diǎn)左邊表示成，則，當(dāng)矩形為正方形時，根據(jù)解出a，即可得到答案.

（2）①先把矩形在第一象限上的奇特點(diǎn)找出來，證明可表示成，再結(jié)合拋物線的解析式，可證明.

②根據(jù)是奇特點(diǎn)，證，由對稱性得到由對稱性，，D得到，，，四點(diǎn)共圓，且為直徑，根據(jù)三角函數(shù)可求出半徑.

（1）設(shè)，則，

因為是矩形，

易證，，

當(dāng)矩形為正方形時，，

解得，

∴，，，

∴易得矩形在第一象限內(nèi)的奇特點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

（2）①證明：設(shè)，則，

∴矩形在第一象限上的奇特點(diǎn)為，

又在拋物線上，

∴為與拋物線的交點(diǎn)，

即：點(diǎn)為矩形的奇特點(diǎn)．

②由是奇特點(diǎn)，設(shè)，．

可以得到：，

，

∴，

由對稱性，，

∴，，，四點(diǎn)共圓，且為直徑，

∴，

∴，

∴，即半徑為．