Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′（點(diǎn)P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)b=3時(shí)，
①求直線AB的解析式；
②若點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（-1，m），求m的值；
（2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P′C的交點(diǎn)為D．當(dāng)P′D：DC=1：3時(shí)，求a的值；
（3）是否同時(shí)存在a，b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
②把（-1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值；
（2）可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解；
（3）分P在第一，二，三象限，三種情況進(jìn)行討論．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
解答：解：（1）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=，
∴直線的解析式是：y=x+3，
②由已知得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，m），
∴m=×1+3=；

（2）∵PP′∥AC，
△PP′D∽△ACD，
∴=，即=，
∴a=；

（3）以下分三種情況討論．
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）
過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4）
∴a=
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==，即=，
∴b=2

2）若∠P′AC=90°，（如圖2），則四邊形P′ACP是矩形，則PP′=AC．
若△P´CA為等腰直角三角形，則：P′A=CA，
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==1，即=1
∴b=4

3）若∠P′CA=90°，
則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③當(dāng)P在第三象限時(shí)，∠P′AC為鈍角（如圖4），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形．
所有滿足條件的a，b的值為：，．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．