設a,b,c為互不相等的實數(shù),且滿足關(guān)系式:b2+c2=2a2+16a+14①bc=a2-4a-5②.求a的取值范圍.
【答案】
分析:先通過代數(shù)式變形得(b+c)
2=2a
2+16a+14+2(a
2-4a-5)=4a
2+8a+4=4(a+1)
2,即有b+c=±2(a+1).有了b+c與bc,就可以把b,c可作為一元二次方程x
2±2(a+1)x+a
2-4a-5=0③的兩個不相等實數(shù)根,由△=4(a+1)
2-4(a
2-4a-5)=24a+24>0,得到a>-1.再排除a=b和a=c時的a的值.先設a=b和a=c,分別代入方程③,求得a的值,則題目要求的a的取值范圍應該是在a>-1的前提下排除求得的a值.
解答:解:∵b
2+c
2=2a
2+16a+14,bc=a
2-4a-5,
∴(b+c)
2=2a
2+16a+14+2(a
2-4a-5)=4a
2+8a+4=4(a+1)
2,
即有b+c=±2(a+1).
又bc=a
2-4a-5,
所以b,c可作為一元二次方程x
2±2(a+1)x+a
2-4a-5=0③的兩個不相等實數(shù)根,
故△=4(a+1)
2-4(a
2-4a-5)=24a+24>0,
解得a>-1.
若當a=b時,那么a也是方程③的解,
∴a
2±2(a+1)a+a
2-4a-5=0,
即4a
2-2a-5=0或-6a-5=0,
解得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195915485747819/SYS201311031959154857478029_DA/0.png)
或
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.
當a=c時,同理可得
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或
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所以a的取值范圍為a>-1且
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且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195915485747819/SYS201311031959154857478029_DA/5.png)
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點評:本題考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的求根公式:x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195915485747819/SYS201311031959154857478029_DA/6.png)
(b
2-4ac≥0).同時考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式b
2-4ac和根與系數(shù)的關(guān)系.