Question

如圖，在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面積為2，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC或BC的延長線于點(diǎn)D，MN垂直平分BD，垂足為N，交AB于點(diǎn)M．
（1）求證：BM=2AD；
（2）設(shè)BC=x，BD=y．求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域．

Answer 1

分析：（1）連接MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BM=MD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠MDB=∠B，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AMD的度數(shù)，然后根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)△ABC的面積是2表示出AH，再利用BD及15°的正弦值與余弦值表示出AH，然后整理求解即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N垂直平分BD，
∴BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=15°，
∴∠AMD=∠MBD+∠MDB=30°，
又∵△AMD是直角三角形，
∴MD=2AD（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），
∵BM=MD，
∴BM=2AD；

（2）解：過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，則
S_△ABC=

1

2

BC•AH=2，
∴AH=

4

x

，
又∵AH=ABsin15°=BDcos15°•sin15°，
∴AH=ycos15°•sin15°，
∴

4

x

=ycos15°•sin15°=y×

6 + 2

4

×

6 - 2

4

=

y

4

，
∴y=

16

x

（x＞0）．

注：設(shè)AD=1，則MD=2，AM=

MD2-AD2

=

22-12

=

3

，
∴AB=BM+AM=2+

3

，
BD=

AB2+AD2

=

(2+ 3 )2+12

=

6

+

2

，
∴sin15°=

AD

BD

=

1

6 + 2

=

6 - 2

4

，
cos15°=

AB

BD

=

2+ 3

6 + 2

=

6 + 2

4

．

點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的面積的利用，注意15°角的正弦值與余弦值的利用是（2）中求解的關(guān)鍵．