Question

（2012•南崗區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-

1

2

x+5與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)0作OD⊥AB，垂足為D．

（1）求直線OD的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB以每秒

5

個單位長度的速度勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．設(shè)線段0Q的長為d（d＞0），點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（秒），求d與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接OP，是否存在t的值，使OP²=BP•AP？若存在，求出t的值，同時通過計算推理判斷，此時以

6 5

5

為半徑的⊙D與直線OP的位置關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DC⊥OA于C，由直線y=-

1

2

x+5與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，可求得A（10，0），B（0，5），又由OD⊥AB，利用直角三角形的面積公式，即可求得OD的長，利用三角函數(shù)的知識即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式；
（2）易得△APQ∽△ABO，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得AQ的值，然后分別從0＜t≤5與t＞5去分析求解，即可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由OP²=OQ²+PQ²與OP²=BP•AP，分別從0＜t≤5與t＞5去求解，即可求得k的值；然后分別求k取不同值時，以

6 5

5

為半徑的⊙D與直線OP的位置關(guān)系．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DC⊥OA于C，
∵直線y=-

1

2

x+5與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB=

OA2+OB2

=5

5

，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

5

5

，cos∠OAB=

OA

AB

=

2 5

5

，
∵OD⊥AB，
∴OD=

OA•OB

AB

=2

5

，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD•sin∠ODC=2

5

×

5

5

=2，CD=OD•cos∠ODC=2

5

×

2 5

5

=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，4），
設(shè)直線OD的解析式為：y=kx（k≠0），
則2k=4，
解得：k=2，
∴直線OD的解析式為：y=2x；

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5

5

，OA=10，OB=5，AP=

5

t，
∴AQ：10=

5

t：5

5

，
∴AQ=2t，
當(dāng)0＜t≤5時，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
當(dāng)t＞5時，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d與t的函數(shù)關(guān)系式為：d=

10-2t  (0＜t≤5) 2t-10  (t＞5)

；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5=

5

t：5

5

，
解得：PQ=t，
∴OP²=OQ²+PQ²，
∵OP²=BP•AP，
當(dāng)0＜t≤5時，BP=AB-AP=5

5

-

5

t，OP²=（10-2t）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（5

5

-

5

t）•

5

t，
即2t²-13t+20=0，
解得：t=

5

2

或t=4；
當(dāng)t＞5時，BP=AP-AB=

5

t-5

5

，OP²=（2t-10）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（

5

t-5

5

）•

5

t，
即15t=100，
解得：t=

20

3

；
綜上，t的值為：

5

2

或4或

20

3

；
∵AD=OA•cos∠OAB=10×

2 5

5

=4

5

，OD=OA•sin∠OAB=10×

5

5

=2

5

，

①如圖4，當(dāng)t=

5

2

時，過點(diǎn)D作DM⊥OP于M，
∵t=

5

2

，
∴AP=

5 5

2

，
∴DP=AD-AP=4

5

-

3 5

2

=

3 5

2

，
∵OP²=5t²-40t+100=

125

4

，
∴OP=

5

2

5

，
∴DM=

OD•DP

OP

=

2 5 × 3 2 5

5 2 5

=

6 5

5

，
∴此時以

6 5

5

為半徑的⊙D與直線OP相切；
②如圖5，當(dāng)t=4時，AP=4

5

=AD，
即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴此時以

6 5

5

為半徑的⊙D與直線OP相交；
③如圖6，當(dāng)t=

20

3

時，過點(diǎn)D作DN⊥OP于N，
∵t=

20

3

，
∴AP=

20 5

3

，
∵OP²=5t²-40t+100=

500

9

，
∴OP=

10

3

5

，
∴DP=AP-AD=

20 5

3

-4

5

=

8 5

3

，
∴DM=

OD•DP

OP

=

2 5 × 8 3 5

10 3 5

=

8 5

5

＞

6 5

5

，
∴此時以

6 5

5

為半徑的⊙D與直線OP相離．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓與直線的位置關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．