Question

（2012•宜昌一模）如圖，在⊙S中，AB是直徑，AC、BC是弦，D是⊙S外一點，且DC與⊙S相切于點C，連接DS，DB，其中DS交BC于E，交⊙S于F，F為弧BC的中點．
（1）求證：DB=DC；
（2）若AB=10，AC=6，P是線段DS上的動點，設DP長為x，四邊形ACDP面積為y．
①求y與x的函數關系式；
②求△PAC周長的最小值，并確定這時x的值．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理的推論得出SF⊥BC，且E為BC的中點，利用垂直平分線的性質即可即可；
（2）①當DP≠AC時，即x≠6時，四邊形ACDP為梯形以及當DP=AC時，即x=6時，四邊形ACDP為平行四邊形，分別求出即可；
②首先利用當P，A，B三點共線時，PA+PB最�。ǘ蹋�，得出最小值即可，再利用Rt△DCS∽Rt△CES，得出CS²=SE×SD，進而求出x的值即可．

解答：解：（1）∵點F為

BC

的中點，SF為⊙S的半徑，
∴SF⊥BC，且E為BC的中點，
∴DS是BC的中垂線，
∴DB=DC．

（2）①∵AB為⊙S的直徑，
∴AC⊥BC，
∴DS∥AC，且BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8，CE=

1

2

BC=4，
當DP≠AC時，即x≠6時，四邊形ACDP為梯形，
此時，y=

1

2

(DP+AC)•CE=2(x+6)=2x+12；
當DP=AC時，即x=6時，四邊形ACDP為平行四邊形，
此時，y=AC•CE=24．
②∵DS是BC的中垂線，∴PC=PB，
∵△PAC的周長=AC+PA+PC=6+PA+PC=6+PA+PB，
當P，A，B三點共線時，PA+PB最小（短），
即點P與點S重合時，△PAC的周長最小，最小值=6+10=16，
此時x=DS，連接CS，
∵DC與⊙S相切于點C，∴DC⊥OC，
∴SE=

CS2-CE2

=

52-42

=3，
∵Rt△DCS∽Rt△CES，
∴CS²=SE×SD，
∴DS=

CS2

SE

=

52

3

=

25

3

，
∴當x=

25

3

時，△PAC的周長最小，最小值=6+10=16．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和梯形的性質等知識，利用相似三角形的判定得出Rt△DCS∽Rt△CES是解題關鍵．