Question

（2013•南漳縣模擬）如圖，已知△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm．P點(diǎn)由A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿線(xiàn)段AB方向向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q點(diǎn)由B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿線(xiàn)段BC方向向C點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s） 
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ與△ABC相似；
（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ平分△ABC的面積？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQC的面積最��？并求出此時(shí)的最小值．

Answer 1

分析：（1）兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得出

BP

BA

=

BQ

BC

，代入求出即可；②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得出

BP

BC

=

BQ

AB

，代入求出即可；
（2）過(guò)P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C=90°，推出△BPE∽△BAC，得出

BP

BA

=

PE

AC

，代入求出PE=

4

5

（5-t），假如存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ平分△ABC的面積，得出

1

2

•t•

4

5

（5-t）=

1

2

×

1

2

×4×3，求出t即可；
（3）S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ，代入得出二次函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）分為兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，
∵根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得：

BP

BA

=

BQ

BC

，
∴

5-t

5

=

t

3

，
解得t=

15

8

；
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，
∵根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得：

BP

BC

=

BQ

AB

，
∴

5-t

3

=

t

5

，
解得t=

25

8

＞3，不符合題意舍去；
綜合上述：當(dāng)t為

15

8

s時(shí)，△PBQ與△ABC相似；


（2）不存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ平分△ABC的面積，
理由是：如圖2，過(guò)P作PE⊥BC于E，
∵AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴

BP

BA

=

PE

AC

，
∴

5-t

5

=

PE

4

，
∴PE=

4

5

（5-t），
假如存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ平分△ABC的面積，
則

1

2

BQ×PE=

1

2

×

1

2

AC×BC，
∴

1

2

•t•

4

5

（5-t）=

1

2

×

1

2

×4×3，
整理，得2t²-10t+15=0，
△=（-10）²-4×2×15=-20＜0，
此方程無(wú)解，
∴不存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ平分△ABC的面積；

（3）S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ
=

1

2

×4×3-

1

2

•t•

4

5

（5-t）
=

2

5

t²-2t+6
=

2

5

（t-

5

2

）²+

7

2

，
即當(dāng)t=

5

2

s時(shí)，四邊形APQC的面積S值最小，最小值是

7

2

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，三角形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生應(yīng)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力．