Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）試求出拋物線的解析式；
（2）問：在拋物線的對稱軸上是否存在一個點Q，使得△QAC的周長最小，試求出△QAC的周長的最小值，并求出點Q的坐標；
（3）現(xiàn)有一個動點P從拋物線的頂點T出發(fā)，在對稱軸上以1個單位長度每秒的速度向y軸的正方向運動，試問，經(jīng)過幾秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線經(jīng)過A、B、C三點，所以用待定系數(shù)法設出二次函數(shù)的一般式即可求出其解析式．
（2）根據(jù)（1）中所得二次函數(shù)的解析式可求出其對稱軸直線，由二次函數(shù)圖象上點的坐標特點可知A、B兩點關于對稱軸直線對稱，連接BC，根據(jù)三點共線時距離最短可知BC與對稱軸的交點即為Q點．
根據(jù)B、C兩點的坐標可用待定系數(shù)法求出B、C兩點所在直線的解析式，在與對稱軸直線組成方程組，即可求出Q點的坐標．
利用兩點間的距離公式即可求出BC的長即△QAC的周長的最小值．
（3）設t秒后△PAC是等腰三角形．利用t表示出P點坐標，根據(jù)兩點間距離公式，分①PA=CA；②PC=PA；③CP=CA三種情況解答．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三點代入得，
解得，
故拋物線的解析式為，y=x²-4x+3；

（2）點A關于對稱軸的對稱點即為點B，
連接B、C，交x=2于點Q，
可得直線BC：
y=-x+3，與對稱軸交點Q（2，1），BC=，
可得△QAC周長為+3．

（3）設t秒后△PAC是等腰三角形，
因為P在對稱軸上，
所以P點坐標為（2，t-1）于是
①當PA=CA時；根據(jù)勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（負值舍去）．
②PC=PA時；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA時；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+）秒或t=（4-）秒
所以經(jīng)過4秒，或3秒，或4+秒，或4-秒時，△PAC是等腰三角形．
點評：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及利用函數(shù)圖象和圖象上點的性質(zhì)判斷符合某一條件的點是否存在，是一道開放性題目，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力．