Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點(diǎn)，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CE⊥AB于E，根據(jù)拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得△OAD≌△EBC，則OA=AE=BE，可設(shè)菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出m的值，由此可確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）題求得的三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）設(shè)出平移后的拋物線解析式，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入此函數(shù)的解析式中，即可求出平移后的函數(shù)解析式，與原二次函數(shù)解析式進(jìn)行比較即可得到平移的單位．
解答：解：（1）過C作CE⊥AB于E，由拋物線的對稱性可知AE=BE，
在Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴△AOD≌△BEC，
∴OA=BE=AE，（1分）
設(shè)菱形的邊長為2m，
在Rt△AOD中，，
解得m=1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）、（2，）；（4分）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+，
代入A點(diǎn)坐標(biāo)可得a=-，
拋物線的解析式為y=-（x-2）²+；（7分）

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=-（x-2）²+k，
代入D（0，）可得k=5，
所以平移后的拋物線的解析式為y=-（x-2）²+5，（9分）
向上平移了5-=4個單位．（10分）
點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、拋物線的對稱性、勾股定理以及二次函數(shù)圖象的平移，綜合性較強(qiáng)，難度適中．