Question

（2011•遼陽）如圖，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，AO=3，∠AOB=30°，將Rt△ABO沿OB翻折后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)D處．
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過B、D兩點(diǎn)，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)F，點(diǎn)P為射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使得以E、F、M、P為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)E，如圖（1），由軸對(duì)稱得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，從而可以求出D的坐標(biāo)．
（2）通過解直角三角形AOB求出AB的值，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將B、D的坐標(biāo)代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線OB的解析式，從而求出F的坐標(biāo)，從而求出EF，設(shè)P（x，y），作EH⊥PM于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PM于點(diǎn)G，如圖（2），由題意可得PH=GM從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖（1）．
由翻折可知：DO=AO=3，
∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠DOE=30°．
∴DE=

3

2

在Rt△COD中，由勾股定理，得
OE=

3 3

2

∴D（

3 3

2

，

3

2

）

（2）在Rt△AOB中，
AB=AO•tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴B（

3

，3）．
∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過B（

3

，3），D（

3 3

2

，

3

2

）兩點(diǎn)，
∴

3a+ 3 b+3=3 27 4 a+ 3 3 2 b+3= 3 2

解得

a=- 2 3 b= 2 3 3

∴此拋物線表達(dá)式為y=-

2

3

x²+

2 3

3

x+3．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），
作EH⊥PM于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PM于點(diǎn)G，如圖（2）．
∵E為拋物線y=-

2

3

x²+

2 3

3

x+3的頂點(diǎn)，
∴E（

3

2

，

7

2

）．
設(shè)OB所在直線的表達(dá)式為y=kx，
將點(diǎn)B（

3

，3）代入，得k=

3

，
∴y=

3

x．
∵P在射線OB上，
∴P（x，

3

x），F(xiàn)（

3

2

，

3

2

）．
則H（x，

7

2

）G（x，

3

2

）．
∵M(jìn)在拋物線上，M（x，-

2

3

x²+

2 3

3

x+3）．
要使四邊形EFMP為等腰梯形，只需PH=GM．

3

x-

7

2

=

3

2

-（-

2

3

x²+

2 3

3

x+3），
即-

2

3

x²+

2 3

3

x+3+

3

x=5．
解得x₁=2

3

，x₂=

3

2

．
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，6），P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）與F重合，應(yīng)舍去．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰梯形的判定及性質(zhì)及解直角三角形的運(yùn)用．