Question

【題目】如圖1，點A和點B分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OA=OB，點C和點D分別在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，點D的坐標(biāo)為（m，n），且滿足+|n﹣2|=0．

（1）求點D的坐標(biāo)；（2）求∠AKO的度數(shù)；（3）如圖2，點P，Q分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OP=OQ，直線ON⊥BP交AB于點N，MN⊥AQ交BP的延長線于點M，判斷ON，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

【答案】(1)(4,2);(2)135°;(3)見解析.

【解析】

（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要證明△BOD≌△AOC，推出EO=OF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），推出OK平分∠BKC，再證明∠AKB=∠BOA=90°，即可解決問題；（3）結(jié)論：BM=MN+ON；只要證明△BNH≌△BNO，以及MH=MB即可解決問題；

解：（1）∵=0，

又∵ ≥0，|n﹣2|≥0，

∴n=2，m=4，

∴點D坐標(biāo)為（4，2）．

（2）如圖1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．

∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴EO=OF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），

∴OK平分∠BKC，

∴∠OBD=∠OAC，易證∠AKB=∠BOA=90°，

∴∠OKE=45°，

∴∠AKO=135°．

（3）結(jié)論：BM=MN+ON．

理由：如圖2中，過點B作BH∥y軸交MN的延長線于H．

∵OQ=OP，OA=OB，∠AOQ=∠BOP=90°，

∴△AOQ≌△BOP，

∴∠OBP=∠OAQ，

∵∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠ABP=∠BAQ，

∵NM⊥AQ，BM⊥ON，

∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°，

∴∠ANM=∠BNO=∠HNB，

∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN，

∴△BNH≌△BNO，

∴HN=NO，∠H=∠BON，

∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°，

∴∠HBM=∠BON=∠H，

∴MH=MB，

∴BM=MN+NH=MN+ON．