Question

如圖，在直角三角形中，一直角邊比另一直角邊長1，且斜邊長為5．
（1）請畫出這個直角三角形的內切圓；
（2）并求出此內切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）先作出任意兩個角的角平分線，再以角平分線交點為圓心，以交點與任意一邊的距離為半徑畫圓即可；
（2）利用勾股定理和三角形的面積公式來確定內切圓的半徑．

解答：解：（1）作圖：

（2）如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
在Rt△ABC中，
設AB=x，則BC=x+1．
∵AC=5，
∴x²+（x+1）²=25，
∴x₁=3，x₂=-4．（舍）
∴AB=3，BC=4．
設內切圓半徑=R．
∵S_△ABC=

1

2

×3×4=6．
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC
=

1

2

×AB×R+

1

2

×BC×R+

1

2

×AC×R
=

3

2

R+2R+

5

2

R
=6R．
∴6R=6，
∴內切圓的半徑為1．

點評：外心是三角形各邊垂直平分線的交點，到每個頂點的距離相等．內心是三角形每個角的角平分線的交點，到三邊距離相等．