Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是射線(xiàn)AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，BE=DF，連接EF交線(xiàn)段BD于點(diǎn)G，交AO于點(diǎn)H．若AB=3，AG=，則線(xiàn)段EH的長(zhǎng)為　  　．

 

Answer 1

【答案】

或

【解析】

試題分析：由EF與線(xiàn)段BD相交，可知點(diǎn)E、F位于直線(xiàn)BD的兩側(cè)，因此有兩種情形：

①點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)F在線(xiàn)段AD延長(zhǎng)線(xiàn)上，依題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，交BD于點(diǎn)M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，

∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F。

∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE。

∵BE=DF，∴EM=DF。

∵在△EMG與△FDG中，EM=DF，∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F，

∴△EMG≌△FDG（ASA）。

∴EG=FG，即G為EF的中點(diǎn)。

∴EF=2AG=2（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半）。

設(shè)BE=DF=x，則AE=3﹣x，AF=3+x，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3﹣x）²+（3+x）²=（2）²。

解得x=1，即BE=DF=1�！郃E=2，AF=4�！鄑an∠F=。

設(shè)EF與CD交于點(diǎn)K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，

∴CK=CD﹣DK=。

∵AB∥CD，∴△AEH≌△CKH，∴。

∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=。

過(guò)點(diǎn)H作HN∥AE，交AD于點(diǎn)N，則△ANH為等腰直角三角形，

∴AN=AH=。

∵HN∥AE，∴，即�！郋H=。

②點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上，依題意畫(huà)出圖形，如圖所示，

同理可求得：EH=。

綜上所述，線(xiàn)段EH的長(zhǎng)為或。