Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與直線y=﹣x+3分別交于x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD交x軸于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求tan∠BCD；

（3）點(diǎn)P在直線BC上，若∠PEB=∠BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣1）；（2）；（3）點(diǎn)P（，）或（12，﹣3）．

【解析】分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；

（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EC，BF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；

（3）分別利用①點(diǎn)P在x軸上方，②點(diǎn)P在x軸下方，分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）由題意得B（6，0），C（0，3），

把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2-2x+c

得，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3

=（x2-8x）+3

=（x-4）2-1，

∴D（4，-1）；

（2）可得點(diǎn)E（3，0），

OE=OC=3，∠OEC=45°，

過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F

在Rt△OEC中，EC=，

在Rt△BEF中，BF=BEsin∠BEF=，

同理，EF=，

∴CF=+=，

在Rt△CBF中，tan∠BCD=；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，m+3）

∵∠PEB=∠BCD，

∴tan∠PEB=tan∠BCD=，

①點(diǎn)P在x軸上方

∴，

解得：m＝，

∴點(diǎn)P（，），

②點(diǎn)P在x軸下方

∴，

解得：m=12，

∴點(diǎn)P（12，-3），

綜上所述，點(diǎn)P（，）或（12，-3）．