(2012•河源)如圖,矩形OABC中,A(6,0),C(0,2
3
),D(0,3
3
),射線l過點D且與x軸平行,點P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點,滿足∠PQO=60°.
(1)①點B的坐標(biāo)是
(6,2
3
(6,2
3
;②∠CAO=
30
30
度;③當(dāng)點Q與點A重合時,點P的坐標(biāo)為
(3,3
3
(3,3
3
;(直接填寫答案)
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍.
分析:(1)①由四邊形OABC是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì),即可求得點B的坐標(biāo);②由正切函數(shù),即可求得∠CAO的度數(shù),③由三角函數(shù)的性質(zhì),即可求得點P的坐標(biāo);
(2)分別從當(dāng)0≤x≤3時,當(dāng)3<x≤5時,當(dāng)5<x≤9時,當(dāng)x>9時去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)①∵四邊形OABC是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
∵A(6,0)、C(0,2
3
),
∴點B的坐標(biāo)為:(6,2
3
);

②∵tan∠CAO=
OC
OA
=
2
3
6
=
3
3

∴∠CAO=30°;

③如圖1:當(dāng)點Q與點A重合時,過點P作PE⊥OA于E,
∵∠PQO=60°,D(0,3
3
),
∴PE=3
3

∴AE=
PE
tan60°
=3,
∴OE=OA-AE=6-3=3,
∴點P的坐標(biāo)為(3,3
3
);
故答案為:①(6,2
3
),②30,③(3,3
3
);

(2)當(dāng)0≤x≤3時,
如圖2,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;
由題意可知直線l∥BC∥OA,
可得
EF
OQ
=
PE
PO
=
DC
DO
=
3
3
3
=
1
3
,
EF=
1
3
(3+x),
此時重疊部分是梯形,其面積為:
S梯形=
1
2
(EF+OQ)•OC=
4
3
3
(3+x);
如圖3,當(dāng)3<x≤5時,∵AQ=OI+IQ-OA=x+3-6=x-3,
則AH=
3
(x-3),
則S=S梯形EFQO-S△HAQ=S梯形EFQO-
1
2
AH•AQ
=
4
3
3
(3+x)-
3
2
(x-3)2,
=-
3
2
x2+
13
3
3
x-
3
2

如圖4,當(dāng)5<x≤9時,∵CE∥DP,
CO
DO
=
CE
DP
,
2
3
3
3
=
CE
x
,
∴CE=
2
3
x,
∴BE=6-
2
3
x,
∴S=
1
2
(BE+OA)•OC=
3
(12-
2
3
x),
如圖5,當(dāng)9<x時,∵AH∥PI,
AO
OI
=
AH
PI
,
6
x
=
AH
3
3
,
∴AH=
18
3
x

∵AO=6,
∴S=
1
2
OA•AH=
54
3
x
點評:此題考查了矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性較強(qiáng),難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河源)如圖,已知△ABC,按如下步驟作圖:
①分別以A、C為圓心,以大于
12
AC的長為半徑在AC兩邊作弧,交于兩點M、N;
②連接MN,分別交AB、AC于點D、O;
③過C作CE∥AB交MN于點E,連接AE、CD.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)當(dāng)∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周長為18時,求四邊形ADCE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河源)如圖,在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點均在格點上,點A、B的坐標(biāo)分別是A(3,2)、B(1,3).△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1.(直接填寫答案)
(1)點A關(guān)于點O中心對稱的點的坐標(biāo)為
(-3,-2)
(-3,-2)
;
(2)點A1的坐標(biāo)為
(-2,3)
(-2,3)

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,點B經(jīng)過的路徑為弧BB1,那么弧BB1的長為
10
2
π
10
2
π

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河源)如圖,連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm,一個微型機(jī)器人由點A開始按ABCDEFCGA…的順序沿正方形的邊循環(huán)移動.①第一次到達(dá)G點時移動了
7
7
cm;②當(dāng)微型機(jī)器人移動了2012cm時,它停在
E
E
點.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河源)如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD交AC于點E.
(1)求證:△ADE∽△BCE;
(2)如果AD2=AE•AC,求證:CD=CB.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案