Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-

1

2

）和（m-b，m²-mb+n），其中 a，b，c，m，n為實(shí)數(shù)，且a，m不為0．
（1）求c的值；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁?x₂的值；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x₀，y₀），求這時(shí)|y₀丨的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（0，-

1

2

）代入拋物線可以求出c的值．
（2）把點(diǎn)（0，-

1

2

）代入直線得n=-

1

2

，然后把點(diǎn)（m-b，m²-mb+n）代入拋物線，整理后可確定a的值，把a(bǔ)，c的值代入拋物線，當(dāng)y=0時(shí)可以求出x₁•x₂的值．
（3）拋物線y=x²+bx-

1

2

的頂點(diǎn)（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），當(dāng)-

b

2

≤-1時(shí)，當(dāng)-1≤-

b

2

≤0時(shí)，當(dāng)0＜-

b

2

≤1，當(dāng)1＜-

b

2

時(shí)，確定|y₀|的最值．

解答：解：（1）把點(diǎn)（0，-

1

2

）代入拋物線，得：c=-

1

2

；

（2）把點(diǎn)（0，-

1

2

）代入直線得：n=-

1

2

．
把點(diǎn)（m-b，m²-mb+n）代入拋物線，得：
a（m-b）²+b（m-b）+c=m²-mb+n
∵c=n=-

1

2

，
∴a（m-b）²+b（m-b）=m²-mb，
am²-2abm+ab²+bm-b²-m²+mb=0
（a-1）m²-（a-1）•2bm+（a-1）b²=0
（a-1）（m²-2bm+b²）=0
（a-1）（m-b）²=0
∴a=1，
當(dāng)m-b=0時(shí)，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)就是一個(gè)點(diǎn)，所以m≠b．
把a(bǔ)=1，c=-

1

2

代入拋物線有：
y=x²+bx-

1

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x²+bx-

1

2

=0，
∴x₁•x₂=-

1

2

；

（3）y=x²+bx-

1

2

，頂點(diǎn)（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

）
①當(dāng)-

b

2

＜-1時(shí)，即b＞2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（1，y₀），
∴|H|=y₀=

1

2

+b＞

5

2

，
在x軸下方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（-1，y₀），
∴|h|=|y₀|=|

1

2

-b|=b-

1

2

＞

3

2

，
∴|H|＞|h|，
∴這時(shí)|y₀|的最小值大于

3

2

，
②當(dāng)-1≤-

b

2

≤0時(shí)，即0≤b≤2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（1，y₀），
∴|H|=y₀=

1

2

+b≥

1

2

，當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立，
在x軸下方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），
∴|h|=|-

1

2

-

b2

4

|=

b2+2

4

≥

1

2

，
當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立，
∴這是|y₀|的最小值等于

1

2

，
③當(dāng)0＜-

b

2

≤1，即-2≤b＜0時(shí)，
在x軸上方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（-1，y₀），
∴|H|=y₀=|1+（-1）b-

1

2

|=|

1

2

-b|=

1

2

-b＞

1

2

，
在x軸下方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），
∴|h|=|y₀|=|-

1

2

-

b2

4

|=

b2+2

4

＞

1

2

，
∴當(dāng)這時(shí)，|y₀|的最小值大于

1

2

．

④當(dāng)1＜-

b

2

時(shí)，即b＜-2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（-1，y₀），
∴|H|=

1

2

-b＞

5

2

，
在x軸下方與x軸距離最大值的點(diǎn)是（1，y₀），
∴|h|=|

1

2

+b|=-（b+

1

2

）＞

3

2

，
∴|H|＞|h|，
∴這時(shí)|y₀|的最小值大于

3

2

，
綜上所述：當(dāng)b=0，x₀=0時(shí)，這時(shí)|y₀|取最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，
（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)確定c的值．
（2）結(jié)合一元二次方程的解確定x₁•x₂的值．
（3）在x的取值范圍內(nèi)確定|y₀|的最小值．