Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)，作垂直軸于點(diǎn)，連結(jié)，且，．將沿軸向右平移個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)第一次落在拋物線上時(shí)記為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為7或9；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移后C點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中求出C平移后的橫坐標(biāo)，根據(jù)平移的規(guī)律即可得到m的值；

（3）根據(jù)第（2）問的結(jié)果可知，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8），然后求出拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后分兩種情況：當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)和當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別進(jìn)行討論即可．當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí),先證明，則有，即可求出Q點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸之間的距離，從而建立方程求出Q的橫坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式中即可求出縱坐標(biāo)；當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)即可求出Q的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線表達(dá)式中即可求出縱坐標(biāo) ．

解：（1）把，代入

得解得

∴拋物線的解表達(dá)式是．

（2）∵，且，

∴，且，

∴．

設(shè)平移后的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8．

代入拋物線解析式可得，解得或，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

∵，

∴當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，向右平移了7或9個(gè)單位．

∴的值為7或9．

（3）∵，

∴拋物線對(duì)稱軸為．

∴設(shè)．

由（2）可知點(diǎn)坐標(biāo)為．

①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，過作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，如圖，

則，

∵四邊形是平行四邊形,

∴ ,

在和中

∴，

∴，

設(shè)，則，

∴，解得或，

當(dāng)或時(shí)，代入拋物線解析式可求得，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或；

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∵，，

∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)，且，

∴，解得，把代入拋物線解析式可求得，

∴；

綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．