Question

已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒．
（1）求過點(diǎn)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求AB的長(zhǎng)；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三點(diǎn)代入即可求出a、b、c的值，進(jìn)而得出該拋物線的解析式；
（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先求出COAB的面積，由于點(diǎn)P的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由S_△APD=S_梯形COAB，得OD•y=×56故可求出y的值，由S_△APD=AP•DH=t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．由S_△APD=S_梯形COAB，得AD•y=×56故可求出y的值，此時(shí)t=10+4+（8-）=16，由此可得出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
依題意，得，
解得，
故所求拋物線的解析式為y=-x²+x；

（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB==10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF==8，DH=OF=4，
∴S=AP•DH=t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵=，S_△ABD=AD•BE=×5×8=20．
∴=，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）點(diǎn)P只能在AB或OC上才能滿足題意，
S_梯形COAB=（BC+OA）•OC=×（4+10）×8=56，
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由S_△APD=S_梯形COAB，
得OD•y=×56，解得y=，
由S_△APD=AP•DH=t×4=14，得t=7．
此時(shí)，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）²+y²=AP²，即（10-x）²+（）²=7²，
解得x=，即在7秒時(shí)有點(diǎn)P₁（，）滿足題意；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．
由S_△APD=S_梯形COAB，得AD•y=×56，解得y=，
此時(shí)t=10+4+（8-）=16．   即在t=16秒時(shí)，有點(diǎn)P₂（0，）滿足題意；
綜上，在7秒時(shí)有點(diǎn)P₁（，），在16秒時(shí)有點(diǎn)P₂（0，）使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形及梯形的高是解答此題的關(guān)鍵．