如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,DE⊥DB交AB于點E,設(shè)⊙O是△BDE的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若DE=2,BD=4,求AE的長.
分析:(1)如圖,連接OD,首先由DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圓,證明BE是直徑,點O是BE的中點,由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°,由BD為∠ABC的平分線得到∠ABD=∠DBC,又OB=OD,利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ODB,然后等量代換即可證明題目結(jié)論;
(2)首先利用勾股定理求出BE=2
5
,OE=
5
,然后利用已知條件證明△ADB∽△AED,利用等腰三角形的性質(zhì)得到
AD=2AE,在Rt△AOD中由AO2=OD2+AD2,可以列出關(guān)于AE的方程,解方程即可解決問題.
解答:(1)證明:連接OD,
∵DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圓,
∴BE是直徑,點O是BE的中點,
∵∠C=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
又BD為∠ABC的平分線,
∴∠ABD=∠DBC,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
則∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半徑,
∴AC是⊙O的切線.(方法不唯一,參照給分)

(2)解:∵DE⊥DB,DE=2,BD=4,
BE=2
5
,OE=
5

∴∠ABD=∠ADE,又∠A為公共角,
∴△ADB∽△AED,則有
AE
AD
=
ED
DB
=
2
4
,
∴AD=2AE,
在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2
即(
5
+AE)2=(
5
2+(2AE)2,
解得AE=
2
3
5
或AE=0(舍去),
所以AE=
2
3
5
點評:本題綜合考查了切線的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)及勾股定理的綜合運用.綜合性比較強,對于學(xué)生的能力要求比較高.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
5
cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設(shè)點P的運動時間為t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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